1. Элементы векторной алгебры и аналитичеcкой геометрии
   
   
2. Элементы линейной алгебры
   
   
3. Введение в математический анализ
   
   
4. Производная и её приложения
   
   
5. Приложения дифференциального исчисления
   
   
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
   
   
7. Неопределённый и определённый интегралы
   
   
8. Дифференциальные уравнения
   
   
9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
   
   
10. Ряды
    
    
11. Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление
    
    
12. Теория вероятностей и математическая статистика
    
    

      Найти частное решение дифференциального уравнения ,  удовлетворяющее начальным условиям .

      РЕШЕНИЕ

      Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения исходного уравнения. То есть
      .
Здесь - общее решение исходного уравнения,
      - общее решение соответствующего однородного уравнения
      ,
      а - некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
      Решим сначала соответствующее однородное уравнение
      .
      Для этого решим сначала характеристическое уравнение
      .
Дискриминант
      .
      Корни комплексные сопряжённые
      .
      Следовательно, общее решение однородного уравнения
      .
      В правой части исходного уравнения стоит функция , которую можно представить в виде .
      Здесь - многочлены нулевой степени (то есть попросту говоря числа). - не является корнем характеристического уравнения.
      Поэтому, частное решение исходного уравнения будем искать в виде
     
      Найдём первую и вторую производные от этого решения и подставим в исходное уравнение.
      Первая производная .
      Вторая производная
      Подставляя в исходное уравнение, получим
      .
      Отсюда и A=0,25 .
      Тогда частное решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Найдём производную от общего решения
      Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями , .
      Отсюда и .
      Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным условиям имеет вид .
      Ответ: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Эта задача из сборника задач Арутюнова незначительно изменена.