Механика

Контрольная работа 1.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Введите номер задачи и нажмите кнопку "Решение", или решите задачу на основании нижепредставленных формул.

Основные формулы по курсу "Механика"

Кинематические уравнения движения материальной точки (центра масс твёрдого тела) вдоль оси $x$ $$ x = f(t), $$ где $f(t)$ — некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось $x$ $$ \left< v_x \right>= {\Delta x \over \Delta t}. $$
Средняя путевая скорость $x$ $$ \left< v \right>= {\Delta s \over \Delta t}, $$
где $\Delta s$ — путь, пройденный точкой за интервал времени $\Delta t$. Путь $\Delta s$ в отличие от разности координат $\Delta x = x_2-x_1$ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. $\Delta s\ge0$.

Проекция мгновенной скорости на ось $x$ $$ v_x = {d x \over d t}. $$
Проекция среднего ускорения на ось $x$ $$ \left< a_x \right>= {\Delta v_x \over \Delta t}. $$

Проекция мгновенного ускорения на ось $x$ $$ a_x = {d v_x \over d t}. $$
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности $$ \varphi=f(t), \qquad \qquad r=R=const. $$
Модуль угловой скорости $$ \omega = {d\varphi \over d t}. $$
Модуль углового ускорения $$ \varepsilon = {d\omega \over d t}. $$

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:$$ v=\omega\cdot R, \qquad \qquad a_\tau = \varepsilon \cdot R, \qquad \qquad a_n= \omega^2 \cdot R, $$ где $v$ — модуль линейной скорости; $a_\tau$ и $a_n$ — модули тангенциального и нормального ускорений; $\omega$ — модуль угловой скорости; $\varepsilon$ — модуль углового ускорения; $R$ — радиус окружности.

Модуль полного ускорения$$ a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}, \qquad или \qquad a=R\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}.$$
Угол между полным $a$ и нормальным $a_n$ ускорениями $$ \alpha =arccos(a_n / a). $$
Кинематическое уравнения гармонических колебаний материальной точки$$ x=Acos(\omega t+\varphi), $$ где $x$ — смещение; $A$ — амплитуда колебаний; $\omega$ — угловая или циклическая частота; $\varphi$ — начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:$$ v=-A\omega sin(\omega t+\varphi); \qquad \qquad a=-A\omega^2 cos(\omega t+\varphi). $$
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания $$ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\varphi_2-\varphi_1)}; $$ б) начальная фаза результирующего колебания$$ \varphi=arctg{{A_1sin\varphi_1+A_2sin\varphi_2} \over {A_1cos\varphi_1+A_2cos\varphi_2}}. $$
Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, $$ x=A_1cos\omega t; \qquad \qquad y=A_2cos(\omega t+\varphi). $$ a) $ x={A_2 \over A_1}x, $ если разность фаз $\varphi=0;$
б) $ x=-{A_2 \over A_1}x, $ если разность фаз $\varphi=\pi$ или $\varphi=-\pi; $
в) ${x^2 \over A_1^2}+{y^2 \over A_2^2}=1$, если разность фаз $\varphi={\pi \over 2}$ или $\varphi=-{\pi \over 2}$.

Уравнение плоской бегущей волны $$ y=Acos\omega \left( t-\frac x v\right),$$ где $y$ — смещение любой из точек среды с координатой $x$ в момент времени $t$; $v$ — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз $\Delta\varphi$ колебаний с расстоянием $\Delta x$ между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний; $$ \Delta\varphi = {{2\pi}\over\lambda}\Delta x, $$ где $\lambda$ — длина волны.

Импульс материальной точки массой $m$, движущейся со скоростью $\vec v$, $$ \vec p=m\vec v. $$
Второй закон Ньютона $$ d\vec p=\vec F dt, \qquad или \qquad \vec F =m \vec a, $$ где $\vec F$ — результирующая сила, действующая на материальную точку; $\vec a$ — полное ускорение точки.

Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости$$ F=-kx,$$где $k$ — коэффициент упругости (в случае пружины — жёсткость); $x$ — абсолютная деформация;
б) сила тяжести $$ P=mg,$$где $g=9,81 {м \over с^2}$ — ускорение свободного падения (напряжённость гравитационного поля);
в) сила гравитационного взаимодействия$$ F=G{{m_1m_2}\over r^2},$$где $G=6,67\cdot 10^{-11}{кг\over{м\cdot c^2}}$ — гравитационная постоянная; $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел; $r$ — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки) или между центрами тел, если тела имееют шарообразнную форму, как, например, планеты и звёзды. В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряжённость $\vec g$ гравитационного поля:$$ \vec F=m \vec g;$$ г) сила трения (скольжения) $$ F=\mu N,$$ где $\mu $ — коэффициент трения; $N$ — сила нормального давления (реакция опоры). Сила трения покоя определяется как сила, противоположная равнодействующей остальных сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса$$ \sum_{i=1}^n{p_i}=const, $$ или для двух тел $n=2$$$m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2,$$ где $v_1$ и $v_2$ — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; $u_1$ и $u_2$ — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,$$ T={mv^2 \over 2} \qquad или \qquad T={p^2 \over 2m.}$$ Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины$$ \Pi={kx^2 \over 2},$$где $k$ — жёсткость пружины; $x$ — абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия $$ \Pi=-G{{m_1m_2} \over r},$$где $G$ — гравитационная постоянная; $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел; $r$ — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки) или между центрами тел, если тела имееют шарообразнную форму (звёзды, планеты).
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, $$\Pi=mgh, $$где $m$ — масса тела; $g$ — ускорение свободного падения; $h$ —высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии $h \lt \lt R $, где $R=6378 км$ — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии $$E=T+\Pi=const.$$ Работа $A$, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки: $$A=\Delta T=T_2-T_1.$$ Работа силы $\vec F$ на перемещении $\vec s$ равна скалярному произведению векторов $\vec F$ и $\vec s$$$ A=\left(\vec F,\vec s\right)=F\cdot s \cdot cos\alpha,$$где $\alpha$ — угол между векторами $\vec F$ и $\vec s$.

Мгновенная мощность есть производная работы по времени $$P={dA \over dt}.$$ Средняя мощность или работа, совершаемая в единицу времени, равна $$ \left< P \right> ={A \over t}.$$ Коэффициент полезного действия (КПД): $$ \eta = {A_п \over A_з}\cdot 100 ^o/_o , $$где $A_п$ — полезная работа, $A_з$ — затраченная работа.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси $z$ $$M_z=J_z\varepsilon,$$ где $M_z$ — результирующий момент внешних сил относительно оси $z$, действующих на тело; $\varepsilon$ — угловое ускорение; $J_z$ — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой $m$ относительно оси $z$, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной $l$ относительно оси, перпендикулярной стержню,$$J_z={1 \over {12}}ml^2;$$ б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса $R$ относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра), $$J_z=mR^2;$$ в) диска (сплошного цилиндра) радиуса $R$ относительно оси, перпендикулярной плоскости диска (совпадающей с осью цилиндра), $$J_z={1 \over 2}mR^2;$$ г) шара радиуса $R$ относительно любой оси, проходящей через его центр $$J_z={2 \over 5}mR^2.$$ Момент инерции $J$ относительно оси, не проходящей через центр масс, определяется теоремой Штейнера $$ J=J_0+ma^2,$$ где $J_0$ — момент инерции относительно параллельной центральной оси; $a$ — расстояние между осями.

Проекция на ось $z$ момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси $z$ с угловой скоростью $\omega$, $$ L_z=J_z\omega.$$ Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси $z$,$$J_z\omega=const, $$где $J_z$ — момент инерции системы тел относительно оси $z$; $\omega$ — угловая скорость вращения системы тел относсительно оси $z$.

Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси $z$,$$T=\frac12 J_z\omega^2 \qquad или \qquad T={{L_z^2}\over {2J_z}}. $$

В начало К. Р. 2