Колебания маятников

        Колебания есть движения, повторяющиеся со временем. Колеблющиеся системы называются маятниками. Маятник — это система совершающая колебания — колеблющаяся система. Для возникновения колебаний необходимо, чтобы при отклонении системы от положения равновесия, равнодействующая возникающих сил возвращала систему в исходное положение равновесия, и чтобы трение отсутствовало или было достаточно мало. Такими колеблющимися системами или маятниками, например, являются: математический маятник; физический маятник; пружинный маятник; крутильный маятник; колебательный контур; груз, скользящий в полусфере; буй, колеблющийся в тихой воде; стержень, лежащий на цилиндрической поверхности.

        Математический маятник представляет собой груз, подвешенный на длинной нити. Его также называют нитяной маятник.

        Физический маятник — это некое твёрдое тело, шарнирно закреплённое в одной точке и могущее совершать колебания.

        Пружинный маятник представляет собой груз, прикреплённый к пружине.

        Крутильный маятник — груз на длинной нити. В отличие от математического маятника, крутильный маятник не раскачивается, а закручивается и раскручивается.

        Груз, скользящий по внутренней поверхности полусферы, тоже совершает колебания и при малом трении ведёт себя как маятник. Стержень, раскачивающийся на цилиндрической поверхности, обладает признаками маятника.

        Буй на спокойной ровной воде теоретически тоже может рассматриваться как маятник.

        В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят электромагнитные колебания.

        Для возникновения колебаний необходимо, чтобы при отклонении системы от положения равновесия, равнодействующая возникающих сил возвращала систему в исходное положение равновесия, и чтобы трение отсутствовало или было достаточно мало. Возвращающую силу называют также восстанавливающей силой.

        При отсутствии трения и сопротивления движению колебания маятника подчиняются однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ddot x + \omega^2 x = 0 . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) $$ Величина \( \omega \) называется циклической частотой колебаний.

        Функция $$ x(t)=Bcos \omega t+Csin \omega t $$ является решением дифференциального уравнения (1) при любых значения параметров \(B\) и \(C\). Действительно, продифференцируем дважды функцию \(x(t)\) по времени \(t\). $$ \dot x(t)=-B \omega sin \omega t+C \omega cos \omega t \, , $$ $$ \ddot x (t)=-B \omega^2 cos \omega t-C \omega^2 sin \omega t \, . $$ Подставим \( x(t) \) и \( \ddot x (t) \) в уравнение (1). Получим $$ \ddot x + \omega^2 x=-B\omega^2 cos \omega t-C \omega^2 sin \omega t+\omega^2 (B cos \omega t+Csin \omega t)=0 \, . $$ Что и требовалось показать.

        Параметры \(B\) и \(C\) подбираются исходя из начальных условий. Например, если в начальный момент колеблющаяся величина \(x\) равна нулю, а скорость её изменения не нулевая, то колебания будут происходить по закону синуса. Действительно, подставим в уравнение \(t=0\),   \(x=0\). Получим $$ x(0)=Bcos0+Csin0=0 \, . $$ Отсюда \(B=0\) и уравнение колебаний запишется $$ x(t)=Csin \omega t \, . $$
        Если в начальный момент нулю равна скорость изменения колеблющейся величины, то есть её производная, а сама изменяющаяся величина не равна нулю, а равна, например, \(x_0\), то колебания будут происходить по закону косинуса. Действительно, подставим выражение для \(x(t)\) в эти начальные условия $$ x(0)=Bcos0+Csin0=B=x_0 \, , $$ $$ \dot x (0)=-B \omega sin0+C \omega cos0=C \omega =0 \, . $$ Отсюда \( B=x_0 \) и \( C=0 \). Тогда $$ x(t)=x_0 cos\omega t. $$
       Такие колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Дифференциальное уравнение (1) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

        Так как максимальные значение синуса и косинуса равны единице, то максимальное отклонение, называемое амплитудой, равно $$ x_{max} = C \cdot 1 = C \, , $$ $$ x_{max} = x_0 \, . $$ Таким образом, \(C =x_{max} \).

        Амплитуда колебаний обозначается буквой \(A\). Следовательно, \(A=C=x_{max} \).

        Максимальная скорость при этом равна $$ v_{max}=A \omega \, . $$ Действительно, например, для случая колебаний по закону синуса $$ x(t)=Asin \omega t \, $$ скорость $$ v(t)={{dx} \over {dt}} = \dot x = A \omega cos \omega t \, . $$ Максимальная скорость будет когда косинус равен единице, то есть \( v_{max}=A \omega \) . Что и требовалось показать.

        Аналогично проверяется для колебаний, происходящих по закону косинуса.

        В начальный момент \( v(0)=v_0 \). Следовательно, \(A \omega cos0=A \omega =v_0 \) .

        Максимальное отклонение от положения равновесия $$ x_{max} =A= {{v_0} \over \omega } \, . $$
        Ускорение $$ a(t)={{dv(t)} \omega {dt} } = \dot v = -A \omega^2 sin \omega t \, . $$
        Максимальное ускорение $$ a_{max}=A \omega^2 \, . $$
       
        На рисунке 1 изображён график зависимости угла отклонения от положения равновесия при колебаниях, происходящих по закону косинуса.

Рисунок 1.

        На рисунке 2 изображён график зависимости отклонения от положения равновесия при колебаниях, происходящих по закону синуса.

Рисунок 2.

        Синус, как и косинус, является периодической функцией с периодом \( 2 \pi \) , так как $$ sin( \alpha +2 \pi )=sin( \alpha ) \, . $$
        Функция \( f(t) \) есть периодическая функция с периодом \(T\), если для любого значения аргумента \(t\) справедливо равенство $$ f(t+T)=f(t) \, . $$
        Применим данное определение для полученного уравнения колебаний $$ x(t+T)=Asin( \omega (t+T))=x(T)=Asin( \omega t) \, . $$ Отсюда $$ Asin( \omega (t+T))=Asin( \omega t) \, , $$ или $$ sin( \omega t+ \omega T))= sin( \omega t) \, . $$
        Так как период синуса равен \( 2 \pi \), то из последнего равенства получаем $$ \omega T=2 \pi \, , $$ или $$ T={{2 \pi } \over \omega } \, . $$
        Период колебаний — это время, за которое совершается одно полное колебание, при котором груз возвращается в исходное положение.
        Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых маятником за одну секунду. Частота колебаний равна $$ \nu = { 1 \over T} ={ \omega \over {2 \pi }} \, . $$ Из последнего равенства можем записать выражение для циклической частоты $$ \omega = 2 \pi \nu = { {2 \pi } \over T} \, . $$
        У каждого маятника своя циклическая частота, зависящая от его геометрических и физических параметров.

        Циклическая частота колебаний математического маятника равна $$ \omega = \sqrt {g \over l} \, , $$ где \(g\) — ускорение свободного падения, \(l\) — длина нити подвеса.

        Циклическая частота колебаний физического маятника равна $$ \omega = \sqrt {{mga} \over J} \, , $$ где \(m\) — масса маятника, \(J\) — момент инерции груза маятника относительно точки подвеса, \(a\) — расстояние от точки подвеса до центра масс.

        Циклическая частота колебаний пружинного маятника равна $$ \omega = \sqrt {k \over m} \, , $$ где \(m\) — масса груза маятника, \(k\) — жёсткость пружины маятника.

        Циклическая частота колебаний крутильного маятника равна $$ \omega = \sqrt {{GJ_p} \over {Jl}} \, , $$ где \(G\) — модуль сдвига материала упругой нити, \(J_p\) — полярный момент инерции поперечного сечения нити, \(J\) — момент инерции груза, \(l\) — длина нити.

        Циклическая частота колебаний груза, скользящего по внутренней поверхности полусферы, равна $$ \omega = \sqrt {g \over R} \, , $$ где \(R\) — радиус полусферы.

        Циклическая частота колебаний стержня, качающегося на цилиндрической поверхности, равна $$ \omega = {2 \over l} \sqrt {3gR} \, , $$ где \(l\) — длина стержня, \(R\) — радиус кривизны поверхности.

        Циклическая частота колебаний буя на поверхности воды $$ \omega = \sqrt {{ \rho g S } \over m} \, , $$ где \(rho = 1 г/см^3 \) — плотность воды, \(S\) — площадь поперечного сечения цилиндрического буя, \(m\) — масса буя.

        Циклическая частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре равна $$ \omega = { 1\over {\sqrt {LC }}} \, , $$ где \(L \) — индуктивность катушки, а \(C \) — электроёмкость конденсатора.

        Соответственно, период колебаний маятника также зависит от геометрических и физических параметров маятника.

        Период колебаний математического маятника $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt { l \over g } \, . $$
        Физический маятник имеет период колебаний $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt { J \over {mga} } \, . $$
        Период колебаний пружинного маятника $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt { m \over k } \, . $$
        Период колебаний стержня на цилиндре $$ T = {{\pi l} \over \sqrt {3gR}} \, . $$
        Период колебаний буя (поплавка) $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt { m \over {\rho g S} } \, . $$
        Период колебаний крутильного маятника $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt {{Jl} \over {GJ_p} } \, . $$
        Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре $$ T = 2 \pi \cdot \sqrt {LC } \, . $$