Картинка взята отсюда.

        Рассмотрим тело массы \(m\), падающее с высоты \(h\) на поверхность некоторой планеты массы \(M\) и радиуса \(R\). Тело падает без начальной скорости. Будем считать планету неподвижной и предполагать, что поблизости нет других планет, которые могут повлиять на движение тела и планеты. Расстояние от центра планеты до тела в начальный момент равно \(H = R + h\). Расстояние от центра планеты до тела в момент времени обозначим через \(r\). Тогда \( R \le r \le H \).

        На тело действует только сила притяжения со стороны планеты$$ F = \gamma {{Mm} \over r^2}.$$
        Согласно второму закону Ньютона$$ F = {m \cdot a}. $$где \( a = - d^2 r / dt^2 \) — центростремительное ускорение.

        Подставляя выражение для силы \(F\) и ускорения \(a\) во второй закон Ньютона, получим$$ m {{d^2 r} \over {dt^2}} = \gamma {{Mm} \over r^2 }, $$ или после сокращения на \(m\) и преобразования$$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {{d^2 r} \over {d t^2}} = - g { R^2 \over r^2 } . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2) $$ Здесь \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности планет. Как известно$$ g = \gamma { M \over R^2}. $$
        Перепишем дифференциальное уравнение (2) в виде$$ \ddot r = -g {R^2 \over r^2}. $$
Понизим порядок уравнения при помощи замены \( \dot r =z(r) \). Тогда вторая производная \( \dot r = z' \cdot z \) и уравнение запишется$$ {{dz} \over {dr}}z =-g {R^2 \over r^2}. $$ Разделим переменные и интегрируем $$ \int {zdz} = -gR^2 \int {{dr} \over r^2}. $$ Вычисляя интегралы в левой и правой части последнего выражения, получим$$ {z^2 \over 2} = {{gR^2} \over r} + C. $$
        В начальный момент времени: \(r=H\) и \( z= \dot r = 0\). Подставляя в последнее выражение, для произвольной постоянной \(C\) получим$$ С = -{ {2gR^2} \over H}. $$ Тогда$$ {z^2 \over 2} = {{gR^2} \over r} -{ {gR^2} \over H} $$ или$$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {{dr} \over {dt}} = \sqrt {{{2gR^2} \over {rH}}(H-r)}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3) $$
так как \( z= \dot r = dr/dt \).
        Снова разделим переменные$$ \sqrt{r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } dt $$ и интегрируем$$ \int{\sqrt{r \over {H-r}}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$ Сделаем замену$$ {r \over {H-r}} = y^2. $$ Тогда$$ r = {{Hy^2} \over {1+y^2}} $$ и$$ dr = {{2Hy} \over {\left( 1+y^2 \right) }}dy. $$ Интеграл запишется$$ \int{ \sqrt{r \over {H-r}}} = \int {y {{2Hy} \over {\left( 1+y^2 \right) }}dy}. $$
        Воспользуемся формулой интегрирования по частям$$ \int{udv} = uv- \int{vdu} , $$ для этого обозначим$$ u = Hy, \qquad \qquad dv = {{2y} \over {\left( 1+y^2 \right)^2}} . $$ Тогда$$ du = Hdy, \qquad \qquad v = \int {dv} = \int {{{2y} \over {\left( 1+y^2 \right)^2}}dy} = - {1 \over {1+y^2 }} . $$
        Интеграл запишется$$ \int {\sqrt {r \over {H-r}} dr} = -{{Hy} \over {1+y^2}} +H \int {{dy} \over { 1+y^2 }} = H arctg y - {{Hy} \over {1+y^2 }} . $$

        Общее решение$$ H arctg y - {{Hy} \over {1+y^2 }} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$
        С учётом выражения для \( y \) и ограничений значений арктангенса \( arctgy \le \pi /2 \) получим$$ \sqrt {r \cdot (H-r)} - H \cdot arctg \sqrt {r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t + C. $$
        Для определения постоянной \( C \) подставим начальное условия \( t=0 \) , \( r=H \). Получим \( C=-H \pi /2 \).

        Таким образом, закон изменения радиус-вектора \( r \) от времени \( t \):$$ \sqrt {r \cdot (H-r)} - H \cdot arctg \sqrt {r \over {H-r}} = \sqrt{{2gR^2} \over H } t - {{H \pi} \over 2}. $$         Отсюда время падения равно$$ t={1 \over R} \sqrt {H \over {2g}} \left( \sqrt {r \cdot (H-r)} + H \left( {\pi \over 2} - arctg \sqrt {r \over {H-r}} \right) \right) . $$         В момент падения на поверхность планеты, когда \( r=R , \; \; H-R=h \),$$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t={1 \over R} \sqrt {{R+h} \over {2g}} \left( \sqrt {Rh} + (R+h) \left( {\pi \over 2} - arctg \sqrt {R \over h} \right) \right) . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4) $$         Для малых высот, когда \( h \lt \lt R \) и \( h \) можно пренебречь в сравнении с \( R \), получим$$ T = \sqrt { h \over {2g}} + \sqrt { R \over {2g}} \left( {\pi \over 2 } - arctg \sqrt {R \over h} \right). $$         На рисунке 1 представлены графики зависимости времени падения тела на Землю от высоты, полученные при помощи программы MathCad по формулам (1) и (4). Высоты взяты до ста километров. По оси абсцисс откладывается начальная высота падения в метрах, а по оси ординат время падения на поверхность в секундах. График, определяемый формулой (1) изображён красной линией, а график, определяемый формулой (4) изображён синей линией. Как видно из этих графиков, на высотах до 100 км классическая формула 1 даёт достаточно точное значение времени падения. Погрешность не превосходит 1,3%.

Рисунок 1. Графики зависимости времени падания от высоты (для высот до 100 километров).

        На рисунке 2 представлены графики зависимости времени падения тела на Землю от высоты, которая не превосходит 10 тысяч километров. Как видно из этих графиков, на этих высотах время падения, полученное по формуле (4), уже значительно отличается от времени падения, полученного по приближённой формуле (1).

Рисунок 2. Графики зависимости времени падания от высоты (для высот до 10 тысяч километров).

        Скорость падения камня на Землю определяется формулой (3), из которой при \( r=R \) получим$$ v = {{dr} \over {dt}} = \sqrt {{2gRh} \over {R+h}}. $$ Учитывая выражение для второй космической скорости \( V= \sqrt{2gR} \), скорость падения на Землю равна$$ v = V \cdot \sqrt { h \over {R+h}}. $$         Из последнего выражения делаем вывод, что скорость падения камня с любой высоты на Землю никогда не бывает больше, чем вторая космическая скорость.

        На рисунке 3 изображён график зависимости скорости падения тела на Землю от начальной высоты.

Рисунок 3. График зависимости скорости падения тела на Землю от начальной высоты.

Заметим, что формула из учебника физики может давать значения, значительно превышающие вторую космическую скорость, что неверно.

Модифицированное правило Саррюса