Решение задач по физике
|
|
В пружинном маятнике груз массы \(m\) крепится к пружине жёсткости \(k\), другой конец которой закреплён неподвижно. Отклонение груза приведёт к деформации пружины. Возникающая при этом сила упругости стремится вернуть груз в исходное положение, но по инерции груз пролетает положение равновесия и отклоняется в другую сторону. начинает колебаться. Пружинный маятник колеблется из стороны в сторону. При этом максимальное отклонение, которого достигает , называется амплитудой колебаний.
Время за которое пружинный маятник совершает одно полное колебание, то есть время, за которое груз маятника проходит от одного крайнего положения до другого и обратно,
называется периодом колебаний пружинного маятника. Для того чтобы найти составим уравнение колебаний пружинного маятника.
На груз маятника действует сила упругости, которая по закону Роберта Гука равна $$ F = - kx \, , $$ где \(x\) — удлинение пружины.
По второму закону Исаака Ньютона $$ F = ma \, , $$ где \(a = d^2x/dt^2 = \ddot x \, \) — ускорение груза.
Приравнивая выражения для силы, полученные по закону Гука и закону Ньютона, получим $$ m \ddot x = - kx \, . $$ Перенося в одну сторону и разделив на массу, перепишем уравнение в виде $$ \ddot x + {k \over m }x =0 \, , $$ или в виде $$
\ddot x + \omega^2 x =0 \, , $$ где \( \omega =\sqrt {k/m} \) — величина, называемая, циклической частотой колебаний.
Дифференциальное уравнение колебаний \( \ddot x + \omega^2 x =0 \, \) имеет общее решение $$ x (t)=Bcos \omega t+C sin \omega t \, . $$ Для определения произвольных постоянных \(B \) и \(C\) используются начальные условия.
Например, если в начальный момент времени \(t=0\) груз находился в положении равновесия \(x=0\) и ему придали скорость \(v=\dot x = v_0\), то $$ x (0)=Bcos 0+C sin 0 =0 , $$ и $$ \dot x (0)=- B \omega sin 0+C \omega cos 0 = v_0 . $$ Отсюда получаем \(B=0, \; C=v_0/\omega \, . \) Тогда запишется $$ x (t)= {{v_0}\over \omega } sin \omega t \, . $$
Из последнего уравнение находим, что
совершает гармонические колебания с максимальным отклонением или амплитудой, равными \( x_{max}=A= v_0 / \omega \). Период синуса равен \(2 \pi\). Следовательно, равен $$ T = {{2\pi} \over \omega } \, . $$ или с учётом ывыражения для циклической частоты \(\omega \) запишем в виде $$ T = 2\pi \cdot \sqrt {k \over m } \, . $$
Сила упругости — восстанавливающая сила — равна $$ F=-kx=-kAsin \omega t \, . $$
Потенциальная энергия пружины $$ E_п ={{kx^2} \over 2}={{kA^2} \over 2 } sin^2 \omega t \, . $$
Полная равна сумме потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза. В момент, когда отклонение максимально, а скорость равна нулю, кинетическая энергия груза тоже равна нулю. Поэтому полная энергия пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии пружины $$ E=E_{п \, max} ={{kA^2} \over 2}={{mA^2\omega^2} \over 2 } \, . $$
Кинетическая энергия груза маятника равна $$ E_к =E-E_п ={{kA^2} \over 2 } cos^2 \omega t \, . $$
|
|
|
