Ряды

Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение этого задания основано на признаке одного француза (Д’Аламбера или Коши).

Признак Д’Аламбера. Если в ряде с положительными членами$$\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$$отношение $n+1$ – го члена к $n$ – му члену имеет конечный предел $q$ при $n\to\infty$, то есть $$ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q,$$ то: ряд сходится, в случае если $q\lt1$, и ряд расходится, в случае если $q\gt1$.

Признак Коши. Если в ряде с положительными членами$$\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$$последовательность членов такова, что при $n\to\infty$ существует конечный предел $$ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=q,$$ то: ряд сходится, в случае если $q\lt1$, и расходится, в случае если $q\gt1$.

Примечание: При $q=1$ оба признака бессильны и не дают ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

10.31. Найти область сходимости функционального ряда.$$\sum_{n=1}^\infty {{(n+1)^5}\over{2n+1}}x^{2n}.$$

Решение.

Общий член ряда$$a_n={{(n+1)^5}\over{2n+1}}x^{2n}.$$ Тогда последующий член ряда получается заменой $n$ на $n+1$. То есть$$a_{n+1}={{(n+2)^5}\over{2n+3}}x^{2n+2}.$$ Вычислим предел $$q=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to \infty}\left|{{{{(n+2)^5}\over{2n+3}}x^{2n+2}}\over{{{(n+1)^5}\over{2n+1}}x^{2n}}}\right|=$$$$=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^5 \cdot \left(\frac{2n+1}{2n+3}\right) \cdot x^2=x^2.$$ По признаку Д’Аламбера ряд сходится, если $q\lt1$. То есть, в области сходимости функционального ряда должно выполняться неравенство$$x^2\lt1.$$ Отсюда следует, что интервал сходимости $x\in(-1; 1)$. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При $x=-1$ и $x=1$ ряд $$\sum_{n=1}^\infty {{(n+1)^5}\over{2n+1}}$$расходится по необходимому условию, так как $$\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty}{{(n+1)^5}\over{2n+1}}=\infty\neq0.$$ Таким образом, область сходимости исходного функционального ряда $x\in(-1; 1)$.

Ответ: Область сходимости $x\in(-1; 1)$.