Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке M.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        2.26. Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке M. $$v=x^2+9y^2+6z^2, \; \; u=\frac1{xyz}, \; \; M\left(1, \frac13, \frac1{\sqrt6}\right).$$

Решение.

        Скалярное поле $v(x,y,z)$ имеет частные производные: $$\frac{\partial v}{\partial x}=2x, \; \; \frac{\partial v}{\partial y}=18y, \; \; \frac{\partial v}{\partial z}=12z.$$
        Скалярное поле $u(x,y,z)$ имеет частные производные: $$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac1{x^2yz}, \; \; \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac1{xy^2z}, \; \; \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac1{xyz^2}.$$         Найдём значение частных производных в точке M. $$\frac{\partial v}{\partial x}=2\cdot 1=2, \; \; \frac{\partial v}{\partial y}=18\cdot \frac13=6, \; \; \frac{\partial v}{\partial z}=12\frac1{\sqrt6}=2\sqrt6;$$ $$\frac{\partial u}{\partial x}={-1 \over {1\cdot \frac13 \cdot \frac1{\sqrt6}}}=-3\sqrt6, \; \; \frac{\partial u}{\partial y}={-1 \over {1\cdot \frac19 \cdot \frac1{\sqrt6}}}=-9\sqrt6, \; \; \frac{\partial u}{\partial z}={-1 \over {1\cdot \frac13 \cdot \frac16}}=-18.$$
        Градиент скалярного поля $v(x,y,z)$ равен: $$\overrightarrow{grad \, v} = \frac{\partial v}{\partial x}\vec i+\frac{\partial v}{\partial y}\vec j+\frac{\partial v}{\partial z}\vec k=2\vec i+6\vec j+2\sqrt6\vec k.$$         Градиент скалярного поля $u(x,y,z)$ равен: $$\overrightarrow{grad \, u} = \frac{\partial u}{\partial x}\vec i+\frac{\partial u}{\partial y}\vec j+\frac{\partial u}{\partial z}\vec k=-3\sqrt6\vec i-9\sqrt6\vec j-18\vec k.$$         Найдём длины градиентов. Градиент скалярного поля $v(x,y,z)$ имеет длину $$\left|\overrightarrow{grad \, v}\right| = \sqrt{2^2+6^2+(2\sqrt6)^2}=8.$$         Градиент скалярного поля $u(x,y,z)$ имеет длину $$\left|\overrightarrow{grad \, u}\right| = \sqrt{(-3\sqrt6)^2+(-9\sqrt6)^2+(-18)^2}=\sqrt{864}=12\sqrt6.$$         Найдём скалярное произведение градиентов. $$\left( \overrightarrow{grad \, v}, \overrightarrow{grad \, u}\right)=2\cdot(-3\sqrt6)+6\cdot(-9\sqrt6)+2\sqrt6\cdot(-18)=-6\sqrt6-54\sqrt6-36\sqrt6=-96\sqrt6 .$$         Угол между градиентами скалярных полей найдём по формуле: $$cos(\alpha)={{\left( \overrightarrow{grad \, v}, \overrightarrow{grad \, u}\right)}\over{\left|\overrightarrow{grad \, v}\right| \cdot \left|\overrightarrow{grad \, u}\right|}}.$$         Подставив найденные значения длин градиентов и их скалярного произведения получим для угла между градиентами скалярных полей $$cos(\alpha)={{-96\sqrt6}\over{8 \cdot 12\sqrt6}}=-1.$$         Таким образом угол между градиентами скалярных полей равен $\alpha=arccos(-1)=\pi$ или $\alpha=180^o$.

        Ответ: Угол между градиентами скалярных полей: $\alpha=\pi$ или $\alpha=180^o$.