Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
9.31. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение.
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы, их ещё называют собственные числа, cоставим характеристическое уравнение
или
.Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Собственные значения удовлетворяют уравнению
или
.Отсюда для собственных значений матрицы получаем уравнение
или уравнение
.Вынесем общий множитель за скобки. Видим, что собственные значения довлетворяют уравнению
Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений
Второе уравнение анной совокупности — квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, 
. Следовательно, оно не имеет действительных корней. Поэтому характеристическое уравнение имеет только один действительный корень 
, а матрица только одно собственное значение .
Найдём собственный вектор матрицы, принадлежащий этому собственному значению, решая уравнение
Расписывая по компонентам и подставляя , получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
Второе и третье уравнения одинаковые. Поэтому систему можно переписать в виде:
Сложим оба уранения, а затем из второго вычтем первое. Получим
Отсюда
и мы имеем собственный вектор
Ответ: Собственное значение и собственный вектор матрицы