Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить её.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение

---

        Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить её.

Решение.

        Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму Её матрица

        Составим характеристическое уравнение или

        Расписывая определитель, получим _.   Раскрывая скобки, получим квадратное уравнение Дискриминант этого квадратного уравнения положителен

и корни

        Следовательно, квадратичная форма преобразуется к каноническому виду_, а заданное уравнение — к виду

,

        или

.

        Данная линия — эллипс.

        Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить исходя из собственных векторов линейного преобразования с матрицей . Для этого найдём собственные векторы линейного преобразования.
        Для   получим систему

или

        Отсюда     и мы имеем собственный вектор

        Для     получим систему

или

        Отсюда     и мы имеем собственный вектор>/p>

        Предполагая, что исходный базис есть ортонормированный базис, находим длину вектора   , равную

.

        Тогда единичный вектор, сонаправленный с   , будет

        Аналогично, длина вектора     равна

и единичный вектор, сонаправленный с     , будет

        Базис     является искомым базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид. Если обозначить векторы исходного базиса через     , то

.

        Формулы преобразования координат

        Сделаем чертёж.

---