Задача 9. Найти область сходимости ряда.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
9.2. Найти область сходимости ряда. ∞∑n=1(−1)n+1nln(1+x).
Решение.
Чтобы найти область сходимости функционального ряда исследуем сначала ряд, составленный из модулей ∞∑n=11nln(1+x). Это ряд Дирихле ∞∑n=11np, у которого p=ln(1+x). Ряд Дирихле сходится при p>1 и расходится при p≤1. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится тогда, когда ln(1+x)>1, или когда 1+x>e, то есть при x∈(e−1;∞).
Знакочередующийся ряд Дирихле ∞∑n=1(−1)n+1np=1−12p+13p−14p+⋯+(−1)n+1np⋯при p>0 удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, так как lim Следовательно, исходный ряд сходится условно, когда 0\lt ln(1+x)\le1, или когда 0\lt x\le e-1.
Таким образом, область сходимости ряда x\in(1; \infty), при x\in(1; e-1] ряд сходится условно, при x\in(e-1; \infty) ряд абсолютно сходится.
Ответ: Область сходимости x\in(1; \infty).