Processing math: 61%




        Задача 9. Найти область сходимости ряда.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        9.2. Найти область сходимости ряда. n=1(1)n+1nln(1+x).

Решение.

        Чтобы найти область сходимости функционального ряда исследуем сначала ряд, составленный из модулей n=11nln(1+x).        Это ряд Дирихле n=11np, у которого p=ln(1+x). Ряд Дирихле сходится при p>1 и расходится при p1. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится тогда, когда ln(1+x)>1, или когда 1+x>e, то есть при x(e1;).
        Знакочередующийся ряд Дирихле n=1(1)n+1np=112p+13p14p++(1)n+1npпри p>0 удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, так как lim        Следовательно, исходный ряд сходится условно, когда 0\lt ln(1+x)\le1, или когда 0\lt x\le e-1.

        Таким образом, область сходимости ряда x\in(1; \infty), при x\in(1; e-1] ряд сходится условно, при x\in(e-1; \infty) ряд абсолютно сходится.

        Ответ: Область сходимости x\in(1; \infty).