Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

        5.20. Исследовать на сходимость ряд. $$\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{n^3}.$$

Решение.

        Общий член ряда $$a_n=\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{n^3}.$$        Используем радикальный признак Коши, согласно которому ряд сходится, если $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q\lt1,$$ и ряд расходится, если $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q\gt1.$$         Вычислим предел$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{n^3}}=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{n^2}}=$$$$=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac1{3-\frac1{n}}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac13\right)^{n^2}}=0\lt1.$$        По радикальному признаку Коши ряд сходится.

        Ответ: Ряд сходится.