Задача 12. Найти сумму ряда.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.

Решение

---

        12.26. Найти сумму ряда $$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}.$$

Решение.

        Чтобы найти сумму ряда сделаем замену $t=2/x^4$. Тогда исходный функциональный ряд запишется $$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}.$$         Вспомним табличный интеграл $$\int_0^t q^ndq= {{t^{n+1}}\over{(n+1)}},$$ и, воспользовавшись этим нашим воспоминанием, перепишем ряд в виде $$\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty {{t^{n+1}}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right).$$         Ряд $$\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots$$ представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. Этот ряд сходится при $q\lt1$ и расходится при $q\ge1$.

        Сумма ряда при $q\lt1$ есть сумма бесконечной убывающей прогрессии, которая равна $$\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots=\frac1{1-q}.$$         Согласно теореме об интегрировании сходящихся рядов, если ряд сходится, то ряд, составленный из определённых интегралов также сходится, а сумма ряда, составленного из интегралов, равна соответствующему определённому интегралу от суммы исходного ряда, то есть $$\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right)=\int_0^t\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)dq=$$ $$=\int_0^t\left(1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots\right)dq=\int_0^t\frac1{1-q}dq=-ln|1-t|,$$ при $t\lt q\lt1$.

        Исходная сумма функционального ряда равна $$\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right)=-\frac{ln|1-t|}t.$$         Сделаем обратную замену, подставив в полученное выражение $t=2/x^4$. Тогда, при $t=2/x^4\lt1$ или при $x\in(-\infty; -\sqrt[4]2)\bigcup(\sqrt[4]2; +\infty)$, сумма ряда равна $$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=-\frac{ln|1-t|}t=-{{ln\left|1-2/x^4\right|}\over{2/x^4}}=-\frac{x^4}2\cdot ln\left|{{x^4-2}\over{x^4}}\right|.$$

        Ответ: При $x\in(-\infty; -\sqrt[4]2)\bigcup(\sqrt[4]2; +\infty)$ сумма ряда $$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=-\frac{x^4}2\cdot ln\left|{{x^4-2}\over{x^4}}\right|.$$