Задача 12. Найти сумму ряда.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
12.26. Найти сумму ряда $$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}.$$
Решение.
Чтобы найти сумму ряда сделаем замену \(t=2/x^4\). Тогда исходный функциональный ряд запишется$$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}.$$ Вспомним табличный интеграл $$\int_0^t q^ndq= {{t^{n+1}}\over{(n+1)}},$$ и, воспользовавшись этим нашим воспоминанием, перепишем ряд в виде$$\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty {{t^{n+1}}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right).$$ Ряд$$\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots$$представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. Этот ряд сходится при \(q\lt1\) и расходится при \(q\ge1\).
Сумма ряда при \(q\lt1\) есть сумма бесконечной убывающей прогрессии, которая равна $$\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots=\frac1{1-q}.$$ Согласно теореме об интегрировании сходящихся рядов, если ряд сходится, то ряд, составленный из определённых интегралов также сходится, а сумма ряда, составленного из интегралов, равна соответствующему определённому интегралу от суммы исходного ряда, то есть$$\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right)=\int_0^t\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)dq=$$$$=\int_0^t\left(1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n+\cdots\right)dq=\int_0^t\frac1{1-q}dq=-ln|1-t|,$$при \(t\lt q\lt1\).
Исходная сумма функционального ряда равна$$\sum_{n=0}^\infty {{t^n}\over{(n+1)}}=\frac1t\sum_{n=0}^\infty \left(\int_0^t q^ndq\right)=-\frac{ln|1-t|}t.$$ Сделаем обратную замену, подставив в полученное выражение \(t=2/x^4\). Тогда, при \(t=2/x^4\lt1\) или при \(x\in(-\infty; -\sqrt[4]2)\bigcup(\sqrt[4]2; +\infty)\), сумма ряда равна$$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=-\frac{ln|1-t|}t=-{{ln\left|1-2/x^4\right|}\over{2/x^4}}=-\frac{x^4}2\cdot ln\left|{{x^4-2}\over{x^4}}\right|.$$
Ответ: При \(x\in(-\infty; -\sqrt[4]2)\bigcup(\sqrt[4]2; +\infty)\) сумма ряда$$\sum_{n=0}^\infty {{2^n}\over{(n+1)x^{4n}}}=-\frac{x^4}2\cdot ln\left|{{x^4-2}\over{x^4}}\right|.$$