Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность пространства решений системы.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
3.31. Найти какой-нибудь базис и определить размерность пространства решений системы.
Решение.
Найдём ранг матрицы системы. Матрица системы имеет вид
.Первый столбец умножим на три и прибавим к четвёртому столбцу. Первый столбец умножим на три и прибавим ко второму столбцу. Первый столбец умножим на (-4) и прибавим к третьему столбцу. Получим матрицу
.Четвёртый столбец умножим на (-1) и прибавим к пятому столбцу. Второй столбец умножим на 0,5, а третий столбец умножим на 1/3. Получим матрицу
.Второй столбец прибавим к третьему столбцу. Второй столбец вычтем из четвёртого столбца. Второй столбец вычтем из первого столбца. Получим матрицу
.Третью строку прибавим ко второй. Первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке. Получим матрицу
.Вычеркнем нулевую строку и нулевые столбцы матрицы. Получим
. Следовательно, ранг матрицы равен 
. Тогда исходная система имеет 
линейно независимых решений.
Выберем, в качестве базисных, две первые строки и два первых
столбца системы. Оставим два первых уравнения.
. Тогда переменные 
будут базисными, а остальные параметрическими. Оставим базисные переменные слева, а остальные перенесём вправо. Получим систему
.Сложим оба уравнения. Из второго уравнения вычтем первое. Получим систему
или разделив на два
.Составим фундаментальную систему решений.
Таким образом, имеем три базисных решения
.Следовательно, общее решение системы уравнений
.