Задача 4. Найти решение задачи Коши.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        4.7. Найти решение задачи Коши    

Решение

        Это линейное, неоднородное уравнение первого порядка, и для него мы сейчас найдём решение задачи Коши. Будем искать решение задачи Коши, по методу Бернулли, в виде     . Тогда производная     . Подставим в исходное уравнение. Получим

.

        Перепишем уравнение в виде

        Примем, что

        Тогда

.

        В первом уравнении разделим переменные

        и проинтегрируем его

        Получим   .     Отсюда     . Тогда другое уравнение запишется в виде   .     Интегрируем и его   .

        Тогда, общее решение исходного дифференциального уравнения запишется

.

        Но это ещё не решение задачи Коши. Никто и не говорил, что задача Коши решается легко.

        Воспользуемся начальным условием для определения неизвестного С.

        Отсюда   .     Тогда частное решение — решение задачи Коши — запишется

        Сделаем проверку. Для этого производную найденного решения

        и само решение подставим в исходное уравнение и начальное условие. Уравнение обращается в тождество

.

        Начальное условие удовлетворяется

.

        Следовательно, решение задачи Коши найдено верно.

        Ответ: Решение задачи Коши

.