Понятие множества. Способы задания множеств.

        Множество — первичное понятие математики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, существуют различные описания множества.
        Например, Георг Кантор дал такое описание: Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое A определённых хорошо различимых предметов x нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества A).
        Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
        Иногда множества определяется через аксиомы теории множеств.

        Основоположником теории конечных и бесконечных множеств был Бернард Больцано. Он сформулировал некоторые её принципы.
        Позднее, в 1872—1884 гг., Георг Кантор систематически изложил основы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
        Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.
        Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания.
        Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил {x/A(x)}. При этом, A(x) называется характеристическим свойством множества.
        Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

        Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

Элемент множества

        Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если x — элемент множества А, то записывают x∈A (x принадлежит А). Если x не является элементом множества А, то записывают x∉A (x не принадлежит A).

Некоторые виды множеств

        Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Отношения между множествами

        Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
        A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:

      A⊆B ⇔ ∀a∈A ⇒ a∈B.

A равно B, если A и B включены друг в друга:

      A = B ⇔ (A⊆B) ∧ (B⊆A).

A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:

      A ⊂ B ⇔ (A⊆B) ∧ (A≠B).