|
|
Исследование функции и построение графика
Исследуем функцию, заданную формулой:
.
Придерживаемся общего плана исследования функции и построения графика.
1) Область определения:         или        , то есть        .
Таким образом:         .
2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений. Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .
3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.
Видим, что         и        .
4) Функция непрерывна в области определения .
; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
5) Вертикальные асимптоты:        
Найдём наклонную асимптоту        . Здесь
; .
Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0. Наклонных асимптот нет.
6) Найдём первую производную. Первая производная:
И вот почему
Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
7) Найдём вторую производную.
Вторая производная:
И в этом легко убедится, так как
Найдём точки перегиба графика функции, в которых вторая производная обращается в ноль. То есть
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительный максимум (-1;-2).
8) Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Примеры полного исследования функции.
|
|
|