Исследование функции и построение графика



Исследуем функцию, заданную формулой:

.

Придерживаемся общего плана исследования функции и построения графика.

1) Область определения:

        или        , то есть        .

Таким образом:         .

2) Точек пересечения с осью Ox нет.

Действительно, уравнение         не имеет решений.
Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .

3) Функция ни чётная, ни нечётная.

Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.

Видим, что         и        .

4) Функция непрерывна в области определения


.


; .

Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
; .

Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

5) Вертикальные асимптоты:        

Найдём наклонную асимптоту        . Здесь


;
.

Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0. Наклонных асимптот нет.

6) Найдём первую производную.

Первая производная:

И вот почему

Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть

7) Найдём вторую производную.

Вторая производная:

И в этом легко убедится, так как


Найдём точки перегиба графика функции, в которых вторая производная обращается в ноль. То есть

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.



Относительный максимум (-1;-2).

8)

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график.






Примеры полного исследования функции.







Ссылки                   Контакты