|
|
ГЕОМЕТРИЯ
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
          Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Свойства: Для любых векторов a, b, c и любых чисел k, l справедливы равенства:
- a + b = b + a;
- (a + b) + c = a + (b + c);
- a + 0 = a;
- a − b = a + (−b);
- (k·l)·a = k·(l·a);
- (k + l)·a = k·a + l·a;
- k·(a + b) = k·a + k·b;
Лемма: Если векторы a и b коллинеарны и a ≠ 0, то существует такое число k, что
b = k·a.
Координаты вектора, с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2), равны разностям координат конца и начала, то есть a{x2 − x1; y2 − y2}.
Координаты середины отрезка АВ, с концами в точках A(x1; y1) и B(x2; y2), равны
Длина вектора a{x; y} вычисляется по формуле .
Расстояние между точками A(x1; y1) и B(x2; y2) выражается формулой .
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид: x2 + y2 = r2.
Уравнение окружности с центром в точке C(x0; y0) и радиусом r имеет вид:(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Уравнение прямой принимает вид: ax + by + c = 0.
ПЛАНИМЕТРИЯ
Прямоугольный треугольник
Произвольный треугольник
Теорема косинусов:c2 = a2 + b2 − 2·a·b·cosγ,
a2 = b2 + c2 − 2·b·c·cosα,
b2 = c2 + a2 − 2·c·a·cosβ.
Теорема синусов: Сумма углов треугольника:
α + β + γ = 180°.
Площадь треугольника:
Формула Герона:
Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей:
Четырёхугольники.
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма:
Площадь ромба:
Площадь произвольного четырёхугольника:
Правильные многоугольники
Угол правильного многоугольника:
Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема: : В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Площадь правильного n-угольника:
Здесь P - периметр многоугольника, а r - радиус вписанной окружности.
Сторона правильного многоугольника равна:
Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:
Окружность и круг
Площадь круга:
S = π·R2
Длина окружности: L = 2·π·RЗдесь R — радиус окружности. Длина дуги окружности с углом α равна:
Площадь сектора с углом α равна:
СТЕРЕОМЕТРИЯ Куб Объём куба со стороной a равен V = a3. Площадь полной поверхности куба:
S = 6·a2.
Призма Объём призмы (или параллелепипеда):
V = S·h.
Пирамида Объём пирамиды:
V = ⅓·S·h.
Цилиндр Объём цилиндра:
V = S·h = π·R2·h.
Площадь боковой поверхности цилиндра:
Sбок = 2·π·R·h.
Площадь полной поверхности цилиндра:S = 2·π·R·(R + h).
Конус Объём конуса: Площадь боковой поверхности конуса:
Sбок = π·R·L. Площадь полной поверхности конуса:
Sбок = π·R·(R + L). Здесь R — радиус основания конуса, h — высота конуса, L — образующая конуса.
Сфера и шар
Площадь сферы:S = 4·π·R2.
Объём шара:
|
|
|