ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

          Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

          Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

          Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.

          Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны.

          Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

          Свойства: Для любых векторов a, b, c и любых чисел k, l справедливы равенства:
  1.    a + b = b + a;
  2.    (a + b) + c = a + (b + c);
  3.    a + 0 = a;
  4.    ab = a + (−b);
  5.    (k·l)·a = k·(l·a);
  6.    (k + l)·a = k·a + l·a;
  7.    k·(a + b) = k·a + k·b;

          Лемма: Если векторы a и b коллинеарны и a ≠ 0, то существует такое число k, что b = k·a.

         Координаты вектора, с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2), равны разностям координат конца и начала, то есть a{x2 − x1; y2 − y2}.

          Координаты середины отрезка АВ, с концами в точках A(x1; y1) и B(x2; y2), равны

          Длина вектора a{x; y} вычисляется по формуле
.

          Расстояние между точками A(x1; y1) и B(x2; y2) выражается формулой
.

          Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид:

x2 + y2 = r2.


          Уравнение окружности с центром в точке C(x0; y0) и радиусом r имеет вид:

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.


          Уравнение прямой принимает вид:

ax + by + c = 0.



ПЛАНИМЕТРИЯ



         Прямоугольный треугольник





Произвольный треугольник

          Теорема косинусов:

c2 = a2 + b2 − 2·a·b·cosγ,

a2 = b2 + c2 − 2·b·c·cosα,

b2 = c2 + a2 − 2·c·a·cosβ.



          Теорема синусов:

        Сумма углов треугольника:

α + β + γ = 180°.



          Площадь треугольника:


          Формула Герона:


          Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей:






Четырёхугольники.

Площадь трапеции:


Площадь параллелограмма:



Площадь ромба:



Площадь произвольного четырёхугольника:




Правильные многоугольники

Угол правильного многоугольника:


Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема: : В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Площадь правильного n-угольника:


Здесь P - периметр многоугольника, а r - радиус вписанной окружности.

Сторона правильного многоугольника равна:


Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:




Окружность и круг

Площадь круга:

S = π·R2



Длина окружности:

L = 2·π·R

Здесь R — радиус окружности.

Длина дуги окружности с углом α равна:


Площадь сектора с углом α равна:




СТЕРЕОМЕТРИЯ


Куб
Объём куба со стороной a равен

V = a3.


Площадь полной поверхности куба:

S = 6·a2.



Призма
Объём призмы (или параллелепипеда):

V = S·h.



Пирамида
Объём пирамиды:

V = ⅓·S·h.



Цилиндр
Объём цилиндра:

V = S·h = π·R2·h.



Площадь боковой поверхности цилиндра:

Sбок = 2·π·R·h.



Площадь полной поверхности цилиндра:

S = 2·π·R·(R + h).



Конус
Объём конуса:

Площадь боковой поверхности конуса:

Sбок = π·R·L.


Площадь полной поверхности конуса:

Sбок = π·R·(R + L).


Здесь R — радиус основания конуса, h — высота конуса, L — образующая конуса.


Сфера и шар

Площадь сферы:

S = 4·π·R2.



Объём шара:








Ссылки                   Контакты